The Kulla-Conty Approximation

一、先容

读后感来自 Revisiting Physically Based Shading at Imageworks, SIGGRAPH 2017 course，by Kulla and Conty。这篇文章先容了一种快速的抵偿微概况模子能量损失的近似方式，为产业界常用的一种“相当简单”的抵偿微概况能量损失的方式。

二、布景

在利用微概况模子的时辰，越是粗糙的物体能量损失越是严重。以下图所示：

随着粗糙度从左往右变大，我们模子也变得越暗，也就意味能量越低。具体可经过白炉测试看出，以下图所示：

对所用模子，利用各偏向完全一样的情况光。由于能量守恒，理论上模子入射和出射能量连结分歧（此处没有色彩的能量吸收）。但现实上越右侧的（粗糙度更大）的模子能量损失越多。这是由于微概况斟酌G项时，只做了一次入射遮挡和出射遮挡。

对于粗糙的物体，光芒能够会在微概况间弹射屡次。是以一次的遮挡计较是不够的。以下图所示，越是粗糙的物体，其在微概况间的弹射应当更屡次。

是以我们需要一种方式来抵偿该能量，固然一种在微概况间作path tracing的方式是合适物理的。例如[Multiple-scattering microfacet BSDFs with the Smith model,Heitz et al.2016]就尝试在物理上切确描写能量损失。可是在实时衬着范畴，该方式效力明显太低。是以此处先容了一种快速的抵偿微概况能量损失的近似方式。该方式为The Kulla-Conty Approximation，其用一种经历性的方式抵偿了能量损失。

三、道理

第一步，论文给出了E( )的表达式，表达给定偏向下， radiance为1时的积分，即irradiance，此时= sin θ。以下图所示：

那末假定入射为1，反射为E( )，那末给定偏向下，一次弹射需要补充的能量则为1-E( )。

第二步，论文及其“自然”地想到了关系式（以下）以表达brdf的对称性，该式的积分应即是1-E( )。

第三步，解出常值C。具体解法以下：

是以积分式内的表达式为第二步所求式。即（以下图）

第四步，那明显只要晓得了E( )与E（avg）便可以获得一次弹射的能量损失。一个无剖析解的积分，我们可以用得当的估计较方式获得数值解。分析参数可得，E( )只和和roughness有关，E（avg）只与roughness有关。是以E( )可用一张二维纹理存储，E（avg）可用一维纹理存储。以下所示：

由以上4步可以完全计较出一次弹射的能量损失，成果以下图。明显抵偿后，粗糙的物体比本来更“亮”了，能量连结了分歧性。

到此为止，我们完成磷泼方式的一般内容，该文用设想的公式模拟一次弹射的能量变化（无色彩）。那末假如brdf有色彩呢，假如是屡次呢？接下来请看。

我们晓得色彩意味着吸收，而吸收为能量损失。我们尝试计较该部分“应当”损失的能量。即方式为：先假定模子无色彩E( )，然后计较有色彩时的brdf能量损失F(avg)，最初补上。方式以下：

第一步，F(avg)表达均匀每次反射的能量，计较方式与上面类似，以下：

第二步，那末一次弹射的有色彩的能量为F(avg)E(avg)，损失为F(avg)（1-E(avg)）F(avg) E(avg)。那末屡次弹射的有色彩能量损失为，以下图推导：

第三步，按照等比数列求和公式，我们可得和为：

该式为终极应抵偿能量成果，乘上该成果，我们可得：

四、结论

该论文对于分歧材质和情况还有很多分析，此处不多做先容。接下来贴出我实现的成果。

五、援用

https://www.bilibili.com/video/BV1YK4y1T7yY?p=10 （Games202课程）

https://fpsunflower.github.io/ckulla/data/s2017_pbs_imageworks_slides_v2.pdf （原文PPT）

https://dl.acm.org/doi/abs/10.1145/2897824.2925943 （[Multiple-scattering microfacet BSDFs with the Smith model,Heitz et al.2016]）

最初

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