CFD中的能量方程

| 2022-4-11 17:01 阅读 2046 评论 2

能量方程

质量守恒、动量守恒、能量守恒别离为三大守恒定律。由这些守恒定律可以别离推导出持续性方程、动量方程以及能量方程。是以，在某些情况下，持续性方程可用于求解密度ρ，动量方程可用于求解动量ρU，能量方程可用于求解能量E或温度T。

能量守恒界说为绝热系统的总能量是一个常数，总能量不能凭空的发生和消失。能量的单元为：

在CFD中，凡是用下述变量暗示能量相关量：

比能：单元质量的总能量；
机械能：单元质量的动能；
比内能：单元质量的内能；
比焓：单元质量的焓；

上述变量单元均为：

其中比能为守恒变量。在无源项和沉降项的时辰，比能其值不随时候变化。

1.1. 比能方程

比能由两方面组成，即机械能与比能之和。首先，界说机械能为K：

其中U为速度。单元质量的比内能界说为e。这样，比能E可暗示为：

若斟酌每单元质量比能的变化关系，则将处处拉格朗日框架下的能量守恒方程。在这里斟酌欧拉框架。在欧拉框架下，每单元体积比能的时候变化率，即为每单元质量的比能变化率再乘以密度：

对于体积为dxdydz的流体微元，其比能的时候变化率为：

方程(4)组成欧拉框架下比能方程左侧的部分。

接下来斟酌能量方程右侧的部分。正如之前所说的，流体微元能量的变化能够来自于：

自觉发生的能量；
流入流出的能量；
做功发生消失的能量；

首先斟酌内部发生的能量。界说

为比热源，其暗示每单元时候、每单元质量的能量发生。那末流体微元的净比热源可暗示为：

斟酌流入流出的能量。热传导（热流具有偏向性）对流体微元的加热为（热通量矢量界说为

根据傅里叶定律，q和温度T的关系为：

接下来斟酌做功引发的能量变化。单元时候内做功的变化为功率。感化在流体微元上的力，对其做功的功率即是这个力乘以速度在此力感化偏向上的份量。是以压力的功率为：

剪切力对流体微团做功的功率为：

重力矢量g以体积力的方式感化于流体微元，引发重力势能的变化。单元时候内，重力做功的功率为：

连系方程(4)、(5)、(6)、(8)、(9)、(10)有终极的比能方程：

其展开形式为：

其中：

从方程(11)左侧可以看出其采用的是非守恒形式，且今朝尚未封锁。

1.2. 比内能方程

方程(11)为严酷的能量守恒方程。可是在CFD中凡是的做法是抽离机械能（动能项）来获得一个比内能方程。首先有动量方程：

将动量方程中的每个速度份量方程乘以速度份量并加和有：

即：

将方程(11)中减去方程(16)有比内能方程：

可以看出，比内能方程中不含有体积力项。其守恒形式为：

若斟酌马赫数较小的情况，或以为不成紧缩，则pU=0。同时，若进一步疏忽粘性力做功项τ:U有：

1.3. 温度方程

由比内能方程也可以转化为温度方程。温度和比内能的关系为：

进一步，

可以暗示为：

将方程(20)代入到(31)，并假定恒定比热容有：

在马赫数较小的情况下，可以疏忽压力做功项

也即以为不成紧缩，

同时疏忽粘性力做功项且假定无热源有：

1.4. 焓方程

对于可紧缩流体，凡是把总能量方程简化为焓方程。首先有比焓h以及总比焓h0的界说：

回到非守恒形式的方程(11)，挪用持续性方程后有守恒形式的总能量方程：

把方程(24)代入到方程(26)中有守恒形式的比焓方程：

以及守恒形式的总比焓方程：

再一次的，总比焓方程尚未封锁。

1.5. 封锁

假定q=αeffe

q=αeffh，这样方程(26)、方程(27)、方程(18)则简化为（无热源r=0）：

其别离为比能方程、比焓方程以及比内能方程。其中的K经过方程(1)更新，且其中的速度项经过度手/耦合式算法求解，是以得以封锁。

比能方程、比焓方程以及比内能方程在求解的时辰哪一个最优呢？今朝从经历来看，传热、可紧缩、化学反应求解器利用的首要为比能方程和比焓方程。而且，在低马赫数熄灭流中，(26)和方程(27)中的(τU)（粘性力做功）以及ρgU（重力做功）凡是被疏忽。一些文献暗示，能量方程的挑选在某些情况下是相当紧急的。比如在停止激波捕捉计较的时辰，求解总能量方程要比求解内能方程成果切确的多。是以在rhoCentralFoam中，则植入了粘性力做功，而且求解的为比能方程。

在不成紧缩活动中，凡是求解比内能方程。只要温度对流体的影响不是很重要，那末能量方程可以放在压力速度耦合之落后行求解。在这类情况下是一种单向耦合。同时，需要留意的是比内能方程现实上来历于动量方程。可是总能量方程以及焓方程却可以零丁推导。在某些情况下求解比内能方程能够会带来一些题目。同时，对于不成紧缩流体，能量的增加很少见，能量的耗散却比力明显。对于可紧缩流，双方都比力重要。

Boussinesq假定

下面斟酌传热范畴的Boussinesq假定，而不是湍流以及本构方程范畴的Boussinesq近似/假定。

在传热范畴内，Boussinesq假定以为在活动中温度的变化是很是小的，是以对应的密度变化也很是小。所以在控制方程中，除了浮力项ρg，其他项的密度被以为是常数。Boussinesq假定使得方程的非线性特征下降。但由于Boussinesq假定的限制条件，也使得挪用Boussinesq假定的求解器存在一定的限制。

在工程中，Boussinesq假定首要用于室温下的液体对流、修建物对流、气相分离等。在温度变化比力大的情况下，不倡议利用Boussinesq假定。Boussinesq假定以为流体的密度可以这样计较：