不定积分大集合——技巧篇（十分详细）

写在前面的话：

在数学分析的计较题傍边，我们最多见的就是求极限，求导，求不定积分。是以想在这里分享一下自己的进修功效，希望可以帮助到你们。

本次不等积分大合集将分为三个部分——方式篇、技能篇、例题练习篇。希望大师可以多多支持

技能篇则是总结了我们常见的求积分的技能，来避免方式把握可是照旧不会做的题目

上期回首：

1.份子分母同时乘以或除以一个数以凑微分

【1.1】 \int{\frac{\mathrm{d}x}{e^x+e^{-x}}}

解：原式 =\int{\frac{e^x\mathrm{d}x}{e^{2x}+e^0}}=\int{\frac{e^x\mathrm{d}x}{e^{2x}+1}}

=\int{\frac{\mathrm{d}e^x}{e^{2x}+1}}=\mathrm{arc}\tan e^x+C

份子分母同时乘 e^x

【1.2】 \int{\frac{2^x\cdot 3^x}{9^x-4^x}\mathrm{d}x}

解：原式 =\int{\frac{\frac{3^x}{2^x}}{\frac{9^x}{4^x}-1}\mathrm{d}x}=\int{\frac{\left( \frac{3}{2} \right) ^x}{\left( \frac{3}{2} \right) ^{2x}-1}\mathrm{d}x}

=\frac{1}{\ln 3-\ln 2}\int{\frac{\mathrm{d}\left( \frac{3}{2} \right) ^x}{\left( \frac{3}{2} \right) ^{2x}-1}}=\frac{1}{2\left( \ln 3-\ln 2 \right)}\ln \left| \frac{3^x-2^x}{3^x+2^x} \right|+C

2.从根号提取因式凑微分

【2.1】 \int{\frac{\mathrm{d}x}{\left( x^2+1 \right) ^{\frac{3}{2}}}}

解：原式 =\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left( x^2+1 \right) ^3}}=}\int{\frac{\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{\left( 1+\frac{1}{x^2} \right) ^3}}=}-\frac{1}{2}\int{\frac{\mathrm{d}\left( 1+\frac{1}{x^2} \right)}{\sqrt{\left( 1+\frac{1}{x^2} \right) ^3}}}

=-\frac{1}{2}\int{\frac{\mathrm{d}\left( 1+\frac{1}{x^2} \right)}{\sqrt{\left( 1+\frac{1}{x^2} \right) ^3}}=}-\frac{1}{2}\times \left( -2 \right) \cdot \left( 1+\frac{1}{x^2} \right) ^{-\frac{1}{2}}+C=\frac{\left| x \right|}{\sqrt{x^2+1}}+C

【2.2】 \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}

解：原式= =\int \frac{\mathrm{d} x}{x|x| \sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}=-\int \frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{|x|}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{|x|}\right)^{2}}}=-\arcsin \frac{1}{|x|}+C

【2.3】 \int{\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}}

原式 =\int{\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}}=2\int{\frac{d(\sqrt{x})}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}}=2\mathrm{arc}\sin \sqrt{x}+C

【2.4】 \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}

解：原式= \int{\frac{dx}{e^x\sqrt{1+e^{-2x}}}}=-\int{\frac{d\left( e^{-x} \right)}{\sqrt{1+\left( e^{-x} \right) ^2}}}=-\ln \left( e^{-x}+\sqrt{1+e^{-2x}} \right) +C

【2.5】 \int{\frac{x^{14}}{\left( x^5+1 \right) ^4}\mathrm{d}x}

解：原式 =\int{\frac{x^{14}\mathrm{d}x}{x^{20}\left( 1+x^{-5} \right) ^4}}=\int{\frac{x^{-6}\mathrm{d}x}{\left( 1+x^{-5} \right) ^4}}

=-\frac{1}{5}\int{\frac{\mathrm{d}x^{-5}}{\left( 1+x^{-5} \right) ^4}}=\frac{1}{15}\left( 1+x^{-5} \right) ^{-3}+C

3. \sin x 和 \cos x 交换

【3.1】 \int{\frac{\mathrm{d}x}{1+\cos x}}

解：原式 \int \frac{d x}{1+\cos x}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}=\operatorname{tan} \frac{x}{2}+C

【3.2】 \int{\frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}}

操纵【3.1】的结论

解：原式=\int{\frac{dx}{1+\cos \left( \frac{\pi}{2}-x \right)}}=-\tan \left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) +C

什么叫\sin x 和 \cos x 交换呢？
我们发现【3.1】的求法很简单，【3.2】与【3.1】类似但不能操纵【3.1】的求法
假如硬求，会发现 \int{\frac{1}{1-\sin x}}dx=\int{\frac{1+\sin x}{1-\sin ^2x}}dx\\ =\int{\frac{1+\sin x}{\cos ^2x}}dx=\int{\left( \frac{1}{\cos ^2x}+\frac{\sin x}{\cos ^2x} \right)}dx\\ =\int{\left( \sec ^2x+\tan x\sec x \right)}dx=\tan x+\sec x+c\\
很复杂
可是假如操纵引诱公式，将 \sin x 和 \cos x交换，会很是简单

4.奇妙操纵平方和公式

【4.1】 \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1} \mathrm{~d} x

解：原式 =\int{\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}}\mathrm{d}x=\int{\frac{\mathrm{d}\left( x-\frac{1}{x} \right)}{\left( x-\frac{1}{x} \right) ^2+2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{arc}\tan \frac{x^2-1}{x\sqrt{2}}+C

【4.2】 \int \frac{x^{2}-1}{x^{4}+1} \mathrm{~d} x

解：原式= \int{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}\left( x+\frac{1}{x} \right)}{\left( x+\frac{1}{x} \right) ^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln \left( \frac{x^2-x\sqrt{2}+1}{x^2+x\sqrt{2}+1} \right) +C

5.三角函数弦割化切（凑正切余切）

【5.1】 \int{\frac{\mathrm{d}x}{\sin ^2x+2\cos ^2x}}

解：原式= \int{\frac{dx}{\cos ^2x\left( \tan ^2x+2 \right)}}=\int{\frac{d(\tan x)}{\tan ^2x+2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{arc}\tan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}+C

【5.2】 \int{\frac{dx}{\sin x}}

解：原式 =\int{\frac{dx}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}=\int{\frac{dx}{2\cos ^2\frac{x}{2}\tan \frac{x}{2}}}

=\int{\frac{d\left( \tan \frac{x}{2} \right)}{\tan \frac{x}{2}}}=\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|+c

【5.3】 \int{\sec ^4}xdx

解：原式 =\int{\left( \tan ^2x+1 \right)}\sec ^2xdx

=\int{\tan ^2}x+1 d(\tan x) =\frac{1}{3}\tan ^3x+\tan x+C

6.三角函数切化弦

【6.1】 \int{\cot ^3xdx}

解：原式 =\int{\left( \csc ^2-1 \right)}\cot xdx=\int{\frac{\cos x}{\sin ^3x}}-\frac{\cos x}{\sin x}dx

=\int{\frac{1}{\sin ^3x}}-\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}\left( \sin x \right) =-\frac{1}{2\sin ^2x}-\ln \left| \sin x \right|+C

7.万能公式的应用

【7.1】 \int{\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}}

解：令 \tan \frac{x}{2}=t ，则 x=2\mathrm{arc}\tan\mathrm{t}\quad dx=\frac{2}{1+t^2}dt

原式 =\int{\frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}}=\int{\frac{dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C

=\ln \left| \tan \frac{x}{2}+1 \right|+C

【7.2】 \int{\frac{dx}{\sin x\cos x}}

解：原式 =\int{\frac{2dx}{\sin 2x}}

令 \tan x=t 则 \quad x=\mathrm{arc}\tan t\quad dx=\frac{dt}{1+t^2}

原式= =\int{\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}}=\int{\frac{dt}{t}}=\ln ^{\left| t \right|}+C=\ln |\tan x|+C

什么时辰用万能公式比力方便呢？
当三角函数sinx和cosx的次数不异时，份子分母都有 1+t^2 时，用万能公式化简后比力都雅
留意用万能公式之前，要先对三角函数停止降幂处置

8.三角函数中"1"的妙用

【8.1】 \int{\frac{\mathrm{d}x}{\sin ^2x\cos ^2x}}

解：原式 =\int{\frac{\sin ^2x+\cos ^2x}{\sin ^2x\cos ^2x}}\mathrm{d}x=\int{\frac{1}{\cos ^2x}}+\frac{1}{\sin ^2x}\mathrm{d}x

=\tan x-\cot x+C

【8.2】 \int{\frac{(1+\sin x)dx}{\sin x(1+\cos x)}}

解：原式 =\int{\frac{\cos ^2\frac{x}{2}+\sin ^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}dx}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\cdot 2\cos ^2\frac{x}{2}}} =\int{\frac{\left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right) ^2d\left( \tan \frac{x}{2} \right)}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}

=\int{\frac{\left( \tan \frac{x}{2}+1 \right) ^2d\left( \tan \frac{x}{2} \right)}{2\tan \frac{x}{2}}}

=\int{\left( \frac{\tan \frac{x}{2}}{2}+\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}}+1 \right)}d\tan \frac{x}{2}

=\frac{1}{4}\tan ^2\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|+\tan \frac{x}{2}+C

9.三角函数的降幂

【9.1】 \int{\sin ^4x\mathrm{d}x}

解：原式 =\int{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right) ^2}\mathrm{d}x =\int{\frac{\cos ^22x-2\cos 2x+1}{4}}\mathrm{d}x

=\int{\frac{1+\cos 4x}{8}}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{4}\mathrm{d}x

=\frac{\sin 4x}{32}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{3x}{8}+C

【9.2】 \int{\frac{\sin x\cos x}{1+\sin ^4x}}dx

解：原式 =\int{\frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{1+\left( \frac{1-\cos x}{2} \right) ^2}}dx =\int{\frac{2d(1-\cos 2x)}{4+(1-\cos 2x)^2}}

=\mathrm{arc}\tan \frac{1-\cos 2x}{2}+c =\mathrm{arctan}\sin ^2x+c

【9.3】 \int{\cos ^5}xdx

解：原式 =\int{\left( 1-\sin ^2x \right) ^2}\cdot \cos dx =\int{\left( \sin ^4-2\sin ^2x+1 \right)}d(\sin x)

=\frac{1}{5}\sin ^5x-\frac{2}{3}\sin ^3x+\sin x+C

10.一些比力难以观察的凑微分

【10.1】 \int{\frac{x^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{1+x^{n+2}}}}dx， (n\ne-2)

解：原式 =\frac{2}{n+2}\int{\frac{d\left( x^{\frac{n+2}{2}} \right)}{\sqrt{1+\left( x^{\frac{n+2}{2}} \right) ^2}}}

=\frac{2}{n+2}\ln \left( x^{\frac{n+2}{2}}+\sqrt{1+x^{n+2}} \right) +C

【10.2】 \int{\frac{1}{1-x^2}}\ln \frac{1+x}{1-x}dx

解：原式 =\int{\ln}\frac{1+x}{1-x}d\ln ^{\frac{1+x}{1-x}} =\frac{1}{2}\ln ^2\frac{1+x}{1-x}+C

【10.3】 \int{\frac{dx}{\cos ^2x(1+2\tan x)}}

解：原式 =\int{\frac{d\tan x}{1+2\tan x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d(1+2\tan x)}{1+2\tan x}}

=\frac{1}{2}\ln |1+2\tan x|+C

实在首要还是对求导公式不熟悉

11.难以观察的拆项

【11.1】 \int{\frac{dx}{\sin ^2x\cdot \cos x}}

解：原式 =\int{\left( \frac{1}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin ^2x} \right)}dx =\int{\frac{dx}{\cos x}}+\int{\frac{d(\sin x)}{\sin ^2x}}

=\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right) \right|-\frac{1}{\sin x}+C

【11.2】 \int{\frac{dx}{\sin x\cdot \cos ^3x}}

解：原式 =\int{\left( \frac{\sin x}{\cos ^3x}+\frac{1}{\sin x\cos x} \right)}dx

=\int{\frac{d(\cos x)}{\cos ^3x}}+\int{\frac{d(2x)}{\sin 2x}} =\frac{1}{2\cos ^2x}+\ln |\tan x|+C

【11.3】 \int \frac{d x}{(x+a)^{2}(x+b)^{2}} \quad(a \neq b)

解：原式 =\frac{1}{(a-b)^2}\int{\left[ \frac{1}{(x+a)^2}+\frac{1}{(x+b)^2}-\frac{2}{(x+a)(x+b)} \right]}\mathrm{d}x

=-\frac{1}{(a-b)^2}\left( \frac{1}{x+a}+\frac{1}{x+b} \right) -\frac{2}{(a-b)^2}\int{\frac{dx}{(x+a)(x+b)}}

=-\frac{2x+a+b}{(a-b)^2(x+a)(x+b)}+\frac{2}{(a-b)^3}\ln \left| \frac{x+a}{x+b} \right|+C

12.对根式的整体换元

【12.1】 \int{\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}}

解：原式 =\int{\frac{dx}{(x+1)(x-1)\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}}}

令 \sqrt[3]{\frac{(x-1)}{(x+1)}}=t ，则 \frac{x-1}{x+1}=t^3\Rightarrow x=\frac{t^3+1}{1-t^3}\Rightarrow dx=\frac{6t^2}{\left( t^3-1 \right) ^2}dt

原式 =\int{\frac{\frac{6t^2}{\left( t^{3-1} \right) ^2}dt}{\left( \frac{t^3+1}{1-t^3}+1 \right) \left( \frac{t^3+1}{1-t^3}-1 \right) t}}

=\int{\frac{6t^2dt}{4t^4}}=\int{\frac{3}{2}}\frac{dt}{t^2}=-\frac{3}{2}\frac{1}{t}+C

=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+C

固然必定不是这12个技能就能处理一贴题目，我只是将12个技能简单归纳了出来

而且还有很多技能等着我们去发现

由于时候题目现在先显现给大师这么多

才能有限，若有毛病，敬请指出

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