数据迷思2：辛普森悖论下的香港死亡数字

倘使有两名篮球手A和B，原本，不管是两分球还是三分球，A都要比B投得准，可是一个赛季下来，我们在汇总数据的时辰却发现：A的整体射中率居然比B要低！这能够吗？别说，还真有能够，而且在数据分析中极为常见。这就是以英国统计学家E.H.辛普森命名的所谓“辛普森悖论”。

我们可以举出具体的数字来证实这一点。以下表：

从表中的数据，我们可以看出：A在赛季中的两分射中率是60/100=60%，而B是300/600=50%，A高于B。别的，A的三分球射中率是160/400=40%，而B则是30/100=30%，一样，A也高于B。

但是，假如把一切的数据“汇总”起来，计较一个整体的射中率，此时结论就会发生180度的反转。虽然A不管两分还是三分射中率都要高于B，但他的整体射中率却只要44%，低于B的45%！

这是怎样回事呢？假如仔细研讨数据，我们会发现，这是由于三分球的射中率在整体上明显要比两分球低，所以，哪怕一个“好的三分投手”，其射中率也要低于一个“坏的两分投手”。现在，虽然A同时是一个“好的三分投手”和一个“好的两分投手”，而B同时是“坏的三分投手”以及“坏的两分投手”，但假如A一向热衷于投三分，而B则更多地投两分，那末，就算A在两者的射中率上都高于B，他的整体射中率也会被更多的三分球脱手而大幅拉低，最初反而落后于B。

在现实傍边，我们也很轻易找到类似的例子。例如说NBA著名的神射手库里，我们可以把他跟76人的中锋恩比德做一下比力。库里职业生活的两分球射中率是53.3%，高于恩比德的53.2%，而三分射中率则高达42.8%，更是远高于后者的33.8%。但是，由于库里脱手的三分球比例要大大跨越恩比德，这致使他的整体射中率只要47.3%，反而低于后者的49.0%。

但是，这说明什么呢？说明恩比德在整体上是一个比库里更优异的射手吗？明显，没人会这么以为。究竟上，库里不管是投两分，还是投三分，射中率都要比前者出色。只不外由于小我气概，大概战术放置等缘由，他在角逐中更多地挑选了“三分投手”的脚色，而恩比德则更多地充任“外线”。这样一来，在两人的总脱手次数傍边，两分和三分球的比例就有很大分歧。所以，是这个“战术缘由”，而不是“技术缘由”，才致使库里的整体射中率低于恩比德。但假如仔细考查分组数据，我们照旧可以得出结论：现实上库里才是那位加倍出色的投手，不管是两分还是三分。

所以，辛普森悖论告诉我们，光看一个合并起来的“总数据”，偶然辰会具有欺骗性。很有能够，当我们把这个数据细分到更具体的组别时，会获得截然相反的结论。特别是当这些组别之间存在着很大的整体性差别，而由于某种缘由，数据又恰幸亏这些组别之间散布得很不平衡时，就出格轻易致使辛普森悖论的出现。

现在，让我们回到上次提起的香港疫情灭亡数字。乍看上去，香港因新冠灭亡的人群傍边，似乎高龄老人出格多，以80岁以上为例，占比高达71.05%。这是由于Omicron对老人出格“偏心”吗？

在这里，我们需要首先大白一点，就是哪怕在自然状态下，每年“原本”就应当是老年人死很多，特别是香港这样一个高度老龄化的城市。按2021年的情况，每年灭亡约5万2千人，其中80岁以上占比57.31%。

可是，有人必定要说了，原本只占57%的灭亡，现在却占了71%，这还不能说明Omicron对老年人危险更大？哎，这就是“辛普森悖论”所带来的错觉了。上回说了，在香港的例子里，我们还需要斟酌到一个“潜伏”的变量，统计学上称为lurking variable，就是在分歧年龄层之间，存在着差别极大的疫苗接种率。

在本轮疫情爆发之前，港府为了推行疫苗，实在下了很多气力，例如说规定假如没有“疫苗通行证”的话，就不能进入各类公众场所，包括公务员不能上班，门生不能上学，不能进入特定的商场、超市、食肆，剃头店等。在仲春初甚至公布过：未来假如没有疫苗通行证，将不获得公司工作。

众所周知，香港人历来是“返工大过天”。在如此严酷的行动下，凡是有上学或工作需求的香港人，根基上都接种了疫苗。特别是20-50岁之间的青壮年，按照港府公布的数字，接种人数甚至跨越了香港在这些年龄层的总生齿（这是由于港府公布的数字还包括非香港居民等）。

而与之构成鲜明对照的是，香港老年人的接种率却一向上不去。由于一方面，很多老年人并没有出行的刚需，又担忧身材虚弱，承受不起疫苗的副感化。加上香港部分媒体持久炒作“打疫苗死了很多人”，在老年人傍边形成了很大的发急。直到仲春份疫情爆发时，香港仍有大量老年人连一针也未接种。在80岁以上的超高龄人群傍边，未接种比例甚至接近一半。

所以工作很明显，香港老人在阳性人群中超高的灭亡比例，极能够是由于更多老人没有去打疫苗而酿成的一种假象。假如我们想要认真地探访一下Omicron能否是对老年人风险更大，那末，首先需要严酷地控制“能否打了疫苗”这个变量才行。

现在，为了简单起见，让我们把全部香港人分红两大组：接种0针和1针的归类为“未完玉成程疫苗”，而接种2针或以上的则归类为“全程接种疫苗”。在某种水平上，你可以设想，现在香港被“朋分”成了两座分歧的城市，一座叫“无疫苗香港”，其居民没有任何人完玉成程接种。而另一座叫“疫苗香港”，其居民全数完成了疫苗接种。

按照官方统计，这两座“城市”的生齿数目和响应的年龄散布以下（注1）：

可以明显看出，由于青壮年根基都去打了疫苗，而大量老人则未接种，致使这两座“城市”的生齿年龄散布出现了庞大的差别。相比之下，“无疫苗香港”的老龄化水平要比“疫苗香港”严重很多。

好，现在让我们来看看，Omicron对这两座“城市”别离形成了怎样的冲击。按照港府的报告，从今年头至5月11日为止，香港新冠灭亡共9142人，其中有2人年龄“待定”，没法归入统计，临时解除。在剩下的9140人中，有8026人死在了“无疫苗香港”，而唯一1114人死在“疫苗香港”。斟酌到前者的“总生齿”唯一后者的1/3不到，其中灭亡率差异之大，实在使人张口结舌。

可是，灭亡率高是一回事，这个高灭亡率带来的额外风险能否有出格针对某个年龄段呢？为了研讨这个工作，首先我们需要求出在“自然”状态下，“无疫苗香港”这座“城市”每年的预期灭亡散布，然后再把它跟现实数字停止对照。这很轻易，由于依照香港的“生齿生命表”，我们可以获得每个年龄段每年的自然灭亡率，再乘以无疫苗生齿响应的年龄散布，就能获得最初的答案，以下表：

我们惊奇地发现，除了10岁以下的幼儿之外，对于一切的年龄段来说，这波疫情酿成的灭亡比例，相比“无疫苗香港”在自然状态下的一般灭亡比例，几近都是差不多的！例如说，对于80岁以上的老人，在一切8026个灭亡案例傍边，他们占了5864个，占比73.06%。可是，这个比例实在一点也不“高”，由于“无疫苗香港”自己就是一座比香港加倍老龄化的“虚拟城市”。从上面的数字可以看到，在170万“总生齿”傍边，80岁以上老人有快要22万，远超香港本来的比例。是以，换算下来，他们每年原本就应当占总灭亡人数的75.32%才对。相比之下，在未接种的新冠死者傍边，高龄老人的比例实在跟自然预期值相差无几，甚至还要略少。

这说明什么题目呢？明显，虽然在“无疫苗”的人群傍边，绝对灭亡数确切大大增加了，可是，灭亡年龄的散布却照旧是“一般”的。也就是说，在没有接种疫苗的情况下，Omicron实在对所丰年龄层的人都发生了一样的冲击，而并没有出格针对老年人。你可以设想，它就像是一个“灭亡放大镜”，对所丰年龄的灭亡人数都一概“按同比例”放大。这跟我们上次得出的结论是分歧的：新冠实在对所丰年龄（极低龄除外）“等量齐观”，并没有对老年人形成出格大的额外危险。

为了加倍直观起见，我们还可以经过生命表预算出从年头至今，“疫苗香港”和“无疫苗香港”原本应当发生几多灭亡，然后再经过模子，模拟出两者“现实上”到底各自死了几多人（注2），并与前者停止对照。成果以下图：

可以看出，一方面，在“无疫苗香港”，情况比力悲凉。这座“城市”以170万的总生齿，年头至今预期灭亡7918人，而模拟现实灭亡为14894人，“多死”了6976人，时代整体逾额灭亡比例高达88%。不外，正如之前说的，除了10岁以下的幼儿之外，这个逾额风险是各个年龄层“均匀承当”的，大致都在85%-110%之间，变化不大。

另一方面，在“疫苗香港”，则几近没有逾额灭亡。究竟上，模子给出的逾额灭亡率是-3.27%。在这座生齿为570万的“城市”傍边，原今年头至今，估计灭亡11154人，而模拟现实灭亡为10790人，甚至“少死”了364人。值得一提的是，这些少死的人，也根基合适该城市的年龄“自然散布”，换句话说，虽然逾额灭亡风险是负数，但也根基上由各个年龄层“均匀承当”，根基上都在-10%-0%之间稍微变更。从中，我们可以得出另一个结论，就是疫苗的庇护感化也并没有明显的年龄偏好，它带来的“福利”，根基上也照旧是按比例“均匀分派”给各个年龄层的。

但是，假如我们把两座“城”放在一路，把它们的数字汇总起来，“奇异”的现象就出现了。原本，在每一座“分城”傍边，新冠带来的逾额灭亡风险都并不随年龄剧烈波动，但一旦把它们合起来，工作就发生了变化，逾额灭亡率曲线起头剧烈地高低升沉，而且看上去，似乎老年人的“风险”变得更大了。

例如说，假如我们抽取两个年龄组做比力，一个是20-29岁，一个是70-79岁。原本，在“无疫苗香港”组，前者的额外灭亡率是113%，后者是102%，明显是前者略高于后者。而在“疫苗香港”组，前者的额外灭亡率是-1.95%，后者是-3.41%。由因而负数，所以照旧是前者略高于后者。

可是，把数据合并以后，我们就会惊奇地发现：20多岁年轻人的“整体”逾额灭亡风险为10.31%，而70多岁老年人的“整体”逾额风险则高达30.38%！忽然之间，后者远远跨越了前者。

为什么在每一个分组傍边，都是前者比后者高，而合起来以后，却反而酿成后者比前者高？哎，这就是我们一开首提到的，由于“辛普森悖论”而带来的错觉了。简单来说，由于不接种疫苗组，其整体逾额风险远高于接种疫苗组，而年轻人不接种疫苗的少，接种疫苗的多，老年人则恰好相反。是以合并数据以后，经过加权，前者的数据就会更多遭到“接种疫苗”带来的影响，后者的数据则更多遭到“不接种疫苗”带来的影响。最初，就出现了系统性的不同。在这里，疫苗接种率被称为一个“对撞因子”（Collider），它和“年龄”还有“逾额灭亡率”两个变量同时相关。是以，假如不仔细控制疫苗接种率这个变量，我们就极能够得出一个整体上似是而非的毛病结论。

固然，很多人必定还会想到，关于疫苗接种题目上，还存在别的一个“对撞因子”，就是“疫苗接种志愿”，它和“身材健康水平”以及“接种率”同时都有关系。简单地说，就是身材越差，越有根本病的人，就越是“不愿意”去接种疫苗，而这些人以老年为多。这样一来，就会形成一个“自我挑选”的误差，致使老年人更多地不去接种，最初形成疫情中的灭亡率偏高。

无疑，这也是一个题目，不外，从今朝的数据看来，自我挑选也许会致使疫苗的效力被高估（比如说“疫苗香港”甚至出现了负数的逾额灭亡，这极能够是由于健康人群自我挑选致使的，而并非美满是疫苗自己的感化）。可是，它似乎并没无形成整体上的年龄误差。简单地说，假如身材虚弱的老人不愿意去接种疫苗，那末，身材虚弱的年轻人也会做出一样的挑选，而他们之间的比例照旧是“自然”的。关于疫苗的题目，我们今后有机遇再来谈。

总之，由于辛普森悖论的存在，我们在分析数据的时辰，时辰需要留意，能否其中存在着潜伏的“对撞因子”？否则，光是单看整体的数字，得出的结论极能够会背道而驰。

注1：生齿数字和疫苗接种情况别离来自香港政府网站上的生齿报告和“新冠灭亡个案报告初步数据分析”文档。可是，后者关于疫苗接种的具体数据最早只能追溯到4月21日，没法反应疫情初起时的状态（疫情爆发后，香港的疫苗接种也迎来了一轮高峰，所以现在的数字要远高于当初）。加上之条件到过的，由于接种数字傍边还包括在香港工作的非当地居民等，致使有些年龄段的接种数甚至大于总生齿。为此，我们对这些数据停止了一些处置，下降总接种生齿的比例，对于某些年龄段还要乘上0.98-0.99不等的系数，使得未接种人数不至因而负数。总而言之，这里的数据只管试图复原仲春底时的疫苗接种状态。

注2：模子采用的预算方式，跟我们在上海案例中用的法子是类似的。在预算逾额灭亡率时一样如此，就是按照阳性人数逐日的变化，画出一条“阳性活跃曲线”，然后将这条曲线对时候做积分，求出其占“全民总时候”的比例。这样便可以晓得一切的阳性生齿在活跃时代“应当”一般灭亡几多人，以便和现实报告灭亡数对照。

固然，香港的情况稍微有些分歧。第一，港府判定灭亡人数的标准是“新冠检测阳性后28天”，只要在这个时代灭亡的都算。所以我们应当画的是“28天内阳性活跃曲线”，而不是“逐日活跃”。第二，港府至今仅报告了117万个阳性病例，但由于香港从未停止过全民核酸筛查，疫情高峰起来以后更是爽性放弃了严酷的检测，所以这个数字很明显是大大低估的。究竟上，早在3月22日，港大的报告就以为那时最少已经传染了400万人。

由于缺少牢靠的检测数据，我们只能按照各类其他信息，对模子停止调剂和测试，以拟合现实发生的情况。就今朝利用的参数来说，它显现至今为止，香港总共传抱病毒生齿已高达550万之多，几近已经快要到达群体免疫阈值（这也就是为什么香港疫情现在大大放缓的缘由）。按照该模子，全香港从年头1月1日至5月14日，“本该”灭亡19072人，而现实灭亡25684人，“多死”了6612人，时代逾额了34%。

有人能够会质疑模子的正确度，可是，模子给出的数字自己有多正确，在这里并不重要，只是用来举例而已。现实上，逾额灭亡率必定是一个定值，所以就算有误差，相差的不过就是一个比例。这最多影响具体的数字，而并不影响文中的结论，也就是逾额灭亡率的散布，在“接种疫苗”和“未接种”两个分组傍边，并反面年龄散布高度相关。