在数学中，当一个重要的数学界说已经提出，一个重要的数学定理已经证实后，工作还远未竣事。非论一项数学工作已经若何清楚了，总还有更多的领会它的余地，最常用的方式之一，就是把它陈说为一个更普遍的工具的惯例（推行）。有分歧品种的推行，这里只会商其中的几个。

弱化假定和强化结论

印度天赋数学家拉马努金发现的数字1729很著名，由于它可以用两种分歧方式写成两个正整数的完全立方的和，就是

而且1729是这类数中最小的一个。让我们试着来检验，能否有一个数可以用四种分歧方式写成四个完全立方之和。

初看起来，这个题目似乎是可贵使人受惊，假如真有这样的数，这个数一定是很大很大，假如想一个数接着一个数地去试，又一定是极为冗杂有趣。那末，有没有什么聪明的方式呢？

回答是必须把假定弱化。我们想处理的题目属于下面的一般范例。给出一个正整数序列a_1，a_2，a_3…，而且告诉了我们这个序列具有某本性质。然后要证实，一定存在一个正整数，使得它可以用十种分歧的方式写成这个序列中四项之和。这样思考题目能够有一点报酬造作的味了，由于假定了这个序列是"完全立方数的序列"，由于这本性质的序列（比起所谓“具有某本性质"的序列”） 显得过于特别，所以比力自然的想法是把这个题目看成是一个特定序列的辨别题目。但是，这类思考题目标方式激励我们斟酌有这样的能够性，就是这个结论能够对于普遍很多的序列照旧为真，而成果确切如此。

有1 000个完全立方数小于或即是1 000 000 000。我们将会看到正是这个究竟，就足以保证“存在一个整数，而它可以用十种分歧方式写成四个完全立方数之和”。具体说来，我们的题目酿成证实∶

为了证实这件事，我们先要留意到，从序列中肆意取四项的方式有1000×999×998×997/24种，这个数小于400亿，而这个序列中肆意四项之和必不大于40亿。所以现在有400亿个不大于40亿的数，其中必有反复的数，均匀说来，取不异值的数应当有十个以上。所以，在400亿个数中，最少有一个会取40亿个值的某一个十次以上，证毕。

为什么用这类方式把题目推行会有助于题目标处理？人们能够会以为，在证实一个成果时，假定越少，证实就越难。但是经常并不如此。假定越少，在用这个假定来证实时，需要作的挑选也越少，这偶然会加速对于证实的搜寻。假如没有把这个题目推行如上，就会有过量的挑选。例如，能够会试着去解很是困难的含立方项的丢番图方程，而不是像现在这样作简单的计数题目。

我们也可以以为上面的推行就是结论的强化∶本来的题目只是一个关于立方的命题，而我们的证实则多很多。弱化假定与强化结论，并没有清楚的区分，

证实一个更笼统的成果

模算术里有一个著名的成果，称为费马小定理∶假如p是一个素数，而正整数a不是p的倍数，则a^（p-1）除以p时，余数必为1。就是说a^（p-1） mod p一定同余于1。

这个成果有几种证实，其中之一是追求推行的好例证。以下就是其论证的提要。

• 第一步，证实数1，2，…，p-1在mod p的乘法下组成一个群。

mod p的乘法就是说相乘今后要除以p并取其他数。举例来说，若取p=7，则3与6的积“mod7”是4，由于4是3×6=18除以7所得的余数。

• 第二步，留意到，若1≤a≤p-1，则a的幂mod p组成此群的子群，而且这个子群的巨细是最小的使得 a^m=1，modp的整数m，然后利用拉格朗日定理，即群的巨细一定可用子群的巨细整除。现在群的巨细是p-1，所以p-1可用m整除，可是a^m=1，modp，所以a^（p-1）=1，modp。定理证毕。

这个论证表白，假如得当地看待，费马小定理只是拉格朗日定理的一个惯例（不外，整数 modp 成为一个群并不是完全明显的。这个究竟可以用欧几里得算法来证实）。

费马本人不成能这样来看他的定理，由于在他证实这个定理时，群的概念还没有发现。所以，群的笼统概念帮助人们以全新的方式来看待费马小定理∶可以把它看做是一个更一般的成果的惯例，可是当新的笼统概念没有成长起来之前，甚至没法陈说这个更一般的成果。

这个笼统化进程有很多益处，最明显的是它给了一个更一般的定理，一个具有很多其他风趣的利用的定理。一旦看到了这一点，就能一会儿证实一般的成果，而不必别离证实各个特别成果。一个与之有联系的益处是，它使我们可以看到，很多本来似乎无关的成果之间是有联系的。而在数学的分歧范畴间找到联系几近一定会影响这门学科的明显的停顿。

辨别出特征性质

界说根号2 的方式和界说虚数 i的方式成了明显的对照。界说根号2的方式是，先证实确有一个正实数存在，而且其平方为2。然后，界说此数即为根号2。

对于虚数i，这类气概的证实是不成能的，由于没有哪个实数平方今后会即是 -1。所以，我们代之以另一个题目∶倘使有一个数平方今后会即是-1，那末，关于这个数有哪些性质？这样一个数不成能是实数，但这并未解除一种能够性，就是扩大实数系为一个更大的数系，使之可以包括-1的一个平方根。

初看起来，似乎我们恰好是晓得了关于i的一件事，即i^2=-1。可是假如还假定i服从算术的一般的法例，就还可以做更多风趣的计较，例如

这意味着（1＋i）/根号2是i的一个平方根。

从这两个简单的假定（即i^2=-1以及i服从算术的凡是法例）就能成长起全部复数理论而不必为i究竟是什么费心。而究竟上，思考一下根号2的存在性，就会看到，根号2的存在性实在并不如它的界说性质那末重要，而这个界说性质与i的界说性质是很是类似的，这个界说性质就是平方今后给出2，以及服从算术的凡是法例。

数学中很多重要的推行都是这样行事的。另一个重要的例子是当x和a均为实数而x为正时x^a的界说。除非a是正整数，x^a这个表达式很丢脸出有什么意义，但是，非论 a取什么值，数学家们拿着这个表达式却似乎没事人一样，这是怎样回事呢？答案在于，关于x^a，真正要紧的不在于它取什么值，而在于把它看成 a 的一个函数时，它的特征性质是什么。

所谓特征性质，不可是说它所具有的性质，而且是只要有了这本性质，那就是它，也就是唯一它才具有的性质

x^a的最重要的特征性质就是

有了这本性质，再加上别的几本性质，就完全肯定了x^a这个函数。

笼统化和分类之间有着风趣的关系。“笼统”这个词在数学中经常是指这样一部分数学，在那边更经常利用一个工具的特征性质来停止会商，而不是间接从工具的界说来做论证。笼统的终极目标，是从一组正义，例如群或向量空间的正义，起头来探讨其推论。但是，偶然为了对这些代数结构停止推理，对它们停止分类会很有帮助，分类的成果是使它们变得更具体。例如，每一个有限维实向量空间V都同构于某个R^n，而n是一个非负整数。把V想作一个具体的R^n，而不是想作一个满足某些正义的代数结构，经常很有帮助。因而，在一定意义下，分类是笼统化的对峙面。

重新陈说今后再推行

维是一个在平常说话中也很熟悉的数学概念，例如，一把椅子的照片就是一个3维工具的2维暗示，由于椅子有高度、宽度和深度，可是它的像只要高度和宽度。大略地说，一个图形的维就是可以沿着它自在活动而始终逗留在此图形内的自力的偏向的个数，这个大略的概念可以在数学上界说切确（操纵向量空间的概念）。

假如给了一个图形，则它的按一般了解的维应当是一个非负整数。说我们可以在例如1.4个自力的偏向上活动是没成心义的，但是，确切有一个分数维的严酷的数学理论，在这个理论中，肆意给一个非负实数d，都可以找到一个d维的图形。

数学家们是怎样做到这件似乎不成能的工作的呢？答案是把这个概念重新陈说了，只要这样，才能推行它。这句话的意义就是给维以一个具有以下性质的新的界说∶

1. 对于一切的“简单的”图形，维的新界说和老界说分歧。例如在新界说下，直线还是1维的，正方形还是2维的，立方体还是3维的。

2. 在新界说下，每个图形的维一定是正整数这一点不再是明显的。

做这件事有好几种方式，但其中的绝大大都都集合在长度、面积和体积这些概念的不同上。留意，一条长度为2的直线段，可以分红两个互不堆叠的长度为1的直线段的并；一个边长为2的正方形可以分红四个互不堆叠的边长为1的正方形的并；而一个边长为2的立方体，可以分红八个互不堆叠的边长为1的正方体之并。是以，若把一个d维图形按因子r放大，则其d维“体积”会被乘上因子r^d。假定现在想展现一个1.4维图形。方式之一是取

然后找一个图形X，把它按因子r放大，而且使得放大的图形可以分红两个互不订交的X的复本。X的两个复本，体积应当是X的“体积”的两倍，所以X的维数d应当满足方程r^d=2。依照我们对r的挑选晓得，X的维数为1.4。

另一个初看起来没意义的概念是不成交换多少学。“交换”这个词原本只用于二元运算，所以属于代数而不属于多少学，那末，不成交换多少学能够有什么意义呢？

可是现在，答案已经不再使人惊奇了∶人们用某个代数结构来重新陈说多少学的一部分，然后再推行这里的代数。这个代数结构触及到一个可交换的二元运算，所以，答应这个二元运算为不成交换的，就推行了这个代数。

这里讲到的多少学的一部分就是流形的研讨。与流形 X 相关的有界说在此流形 X 上的复值持续函数的调集 C（X）。给出了 C（X）中的两个函数f和 g 以及两个复数 λ和 μ，则线性组合 λf＋μg 还是一个复值持续函数，从而仍在C（X）中，所以C（X）是一个向量空间。但是，还可以把f与g相乘。这个乘法有各类自然的性质（例如，对于一切函数f，g和h有f（g+h）=fg+fh），这就使得C（X）成为一个代数，甚至是一个C*-代数。后来发现，紧流形 X 上的相当大一部分多少学可以纯洁地以C*-代数 C（X）的说话来重新陈说。这里的“纯洁地”这个词意味着并无需要讲到流形 X，而 C（X）原本是参照着流形 X 来界说的 ，我们需要的仅是 C（X）是一个代数。这就意味着有能够有这样的不是多少地天生的代数，可是对于它们，经太重新陈说的多少概念照旧可用。

代数里有两个二元运算∶向量空间运算和乘法。向量空间运算总是假定为可交换的，可是乘法可纷歧定∶假如乘法也是可交换的，就说这个代数是可交换代数。由于fg和gf明显是同一个函数，代数C（X）就是一个可交换C*-代数，所以从多少学发生的代数总是可交换代数。但是有很多多少概念在用代数说话重新陈说今后，对于不成交换的C*-代数仍成心义，"不成交换多少学"这个词就这样利用起来了。

这样一种重新陈说今后再推行的法式在数学的很多最重要的停顿中都有。现在看本文的第三个例子∶算术的根基定理。它是数论的基石之一，它指出∶每一个正整数都可以唯一的方式写成素数之积。但是数论专家总要看扩大的数系，在绝大大都这类数系中，算术的根基定理的明显的类似定理都是不建立的。

但是，有一种自然的方式推行“数”的概念，使之包括理想数，这样，便可以在例如适才所述的那种环内，证实算术的根基定理的一种版本。首先把题目重新陈说以下∶对每一个数γ，做一切倍数δγ的调集，其中 δ是环中的元。记此调集为（γ），具有以下的封锁性质∶若α，β都属于（γ），而δ，ε都是此环中之元，则

一个环的具有以上封锁性质的子调集，就称为一个理想。假如一个理想具有（γ）的外形，γ是某个数，则此理想称为一个主办想。但是，存在不是主办想的理想，所以，可以把理想的调集看成是推行了本来的环的元素的调集。成果是有自然的加法和乘法的概念可以适用于各个理想。此外，界说一个理想为“素”理想也是成心义的，这里，说理想I为素理想，即是指唯一地写I为两个理想J，K之积的方式是J，K中有一个是“单元元”。在这个扩大的调集上因子的唯一分化定理是建立的。这些概念给了一种很是有用的在本来的环中“量度因子分化的唯一性定理生效水平”的标尺。

更高的维数和多个变元

我们已经看到，当不是只斟酌单变元的一个方程，而是斟酌很多变元的方程组时、多项式方程的研讨会变得复杂很多。例如偏微分方程，它们可以看做是触及多个变量的微分方程，典型地，分析它们会比分析常微分方程困难很多。多变元的多项式方程组以及偏微分方程是一种进程的两个值得留意的例子，这个进程就是从单变元推行到多变元，发生了很多最重要的数学题目和成果，出格是在20世纪以来。

设有一个触及三个实变量 z，y 和 z 的方程。把三元组（z，y，2）看成单唯一个工具，而不是三个数的一组，这类想法经常是有用的。此外，这类工具有着自然的诠释∶它代表3维空间的一点。这个多少诠释是重要的，而且在很洪流平上有助于说明为什么把很多界说和定理从一个变元推行到多个变元如此风趣。假如把一项代数的工作从单变元推行到多变元，便可以以为，这是从1维的布景推行到高维的布景。这个思惟指导到代数与多少的很多联系，使得来自一个范畴的技能可以用于其他范畴。