1.2 量子计算与量子电路

| 2022-3-27 19:26 阅读 3272 评论 20

先容完计较的根基单元qubit后，我们可以停止量子计较了。

在典范计较机中，我们利用电路，来实现计较，打仗过电路的同学应当晓得，电路中存在逻辑门的工具，量子计较中，我们也有量子电路和量子门来控制量子信息，从而实现量子计较，接下来，就将停止量子计较的先容。

单qubit门（single qubit gate）

电子电路中，我们有非门，可以实现bit从0到1，大概从1到0，那我们可以设想类似的量子上的非门，感化于qubit上，类似的实现 $|0\rangle\rightarrow|1\rangle,|1\rangle\rightarrow|0\rangle$ ，现实上，我们利用的量子非门是线性的，在qubit中，实现：

$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle\rightarrow\alpha|1\rangle+\beta|0\rangle$

我们可以界说一个矩阵 $X$ 来表达量子非门：

$X\equiv \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix}$

由于历史缘由，我们今后用 $X$ 来表达量子非门。我们把qubit用向量暗示：

$\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta\\ \end{bmatrix}$

经过非门的运算后，我们有以下的成果：

$X \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta\\ \alpha\\ \end{bmatrix}$

明显，经过变化后的qubit仍然满足 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ 的限制，所以， $X$ 满足酉矩阵的性质，使人惊奇的是，肆意一个酉矩阵，都可以代表一个正当的量子逻辑门！

（关于酉矩阵这里，相关英文为unitary，unitarity，计较机本科的笔者也是刚适才晓得，具体性质参考链接）

前面再给出两个量子计较中重要的门：

Z gate：

$Z\equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix}$

Hadamard gate：

$H\equiv\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1\\ \end{bmatrix}$

Hadamard门偶然描写为非的平方根的门（square-root of NOT），由于经过门的成果有点特别，但现实上留意， $H^2=I$

对于Hadamard gate的了解很重要，所以原书的作者特地做出个可视化的图，绕y轴转90度，再绕x轴180度

复qubit门

上面描写的逻辑门，输入都是一qubit，此外，我们还有类似bit中与，或之类的二元逻辑运算，不外，在量子逻辑门中，最典范的逻辑门是控制非门（controlled_NOT gate or CNOT gate)，今后我简称为CNOT门，这个门输入为两个qubit，CNOT门的图暗示为下：

它对应的矩阵操纵符为：

$U_{CN}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ \end{bmatrix}$

对应的操纵等价于：

输出和典范计较机的异或相当，即模2下的和：

$|A,B\rangle\rightarrow|A,A\oplus{B}\rangle$

我们同时也可以发现， $U_{CN}$ 是一个酉矩阵。

虽然我一路头提到，这个成果类似于典范计较机中的异或门，但不能像普通计较机那样去了解，由于，我们量子的异或门，是不成逆的（不要和前面的可逆弄混）！这里的不成逆指：典范计较机中，我们也答应以经过输出的成果，推算输入的成果，而在异或门中，这是不成能的。可是，酉矩阵量子逻辑门却都是可逆的，由于酉矩阵的逆也是酉矩阵，是以，我们可以经过逻辑门实现回去的转换。

在离散数学中，我们晓得，有与，或，非，便可以组成一切的逻辑运算（少了与，或其中一个也可以），量子计较这里也是，CNOT门和一切的单qubit门可以成一切的逻辑运算，原书4.5节将赐与证实。

基的变更

在线性代数中，大概在多少空间中，我们晓得，对于一个向量，可以暗示成基的线性组合的形式，对于分歧的基，我们有分歧的线性组合，量子计较中也是，除了 $|0\rangle,|1\rangle$ ，我们可以挑选其他的qubit的态作为基。

我们设 $|+\rangle=\frac{(|0\rangle+|1\rangle)}{\sqrt{2}}， |-\rangle=\frac{(|0\rangle-|1\rangle)}{\sqrt{2}}$ ，对于肆意一个qubit $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ，我们可以用 $|+\rangle,|-\rangle$ 来暗示：

$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle=\alpha\frac{(|+\rangle+|-\rangle)}{\sqrt{2}}+\beta\frac{(|+\rangle-|-\rangle)}{\sqrt{2}} =\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}|-\rangle$

易得出， $(\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{2}})^2+(\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}})^2=1$ .

所以，我们可以机关无数多的基来描写qubit的状态，但，qubit的基必须满足正交的条件，这样才能保证 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ .

量子电路

上图是一个示例的量子电路，由三个CNOT门组成，对于若何用物理实现，我们临时不管，只是把它看成一个模子就好。

上图有两个输入变量 $a,b$ ，我们用 $|a,b\rangle$ 来暗示：

这里有几点和电子电路的区分需要说明，第一，电子电路中答应有环，但量子电路是无环的，第二，量子电路不答应扇入，第三，逆操纵，扇出，也不答应。

下面，我们将讲两个逻辑电路，为前面做铺垫。

第一个是，控制U门（controlled-U gate）

该门有一个控制位和多少个输入与输出，该门不代表一个特定的门，而是代表一类，当控制位为0时，输出和输入一样的工具，控制位为1时，履行U操纵，典型的一个控制U门市CNOT门，此时输入输出为一个，U=X。

另一个是丈量，用meter标记暗示：

在继续讲授前，我们先思考一个题目，qubit的复制，我们之前说过，量子的状态是不能复制的，可是，我们有了CNOT门后，能否是可以设想以下线路：

这不就复制了一个qubit了吗？

究竟上并不是，上图的0，是典范bit，我们斟酌一个qubit $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ，下面的0换成qubit $|0\rangle$ ，感化到CNOT门上，我们可以有：

那末，我们复制qubit了吗？大概获得 $|\psi\rangle|\psi\rangle$ ，并没有，我们做一下 $|\psi\rangle|\psi\rangle$ 运算：

明显，不等。

接下来，我们讲授两个例子，稳固印象。

例子1：Bell states

上图是一个Hadamard门，上图的输出，是一个Bell states，大概叫做EPR pairs，书中给出了具体的公式：

其中 $\frac{}{y}$ 是对y取反的意义。

例子2：量子通讯

通讯里经常用到的两小我，Alice和Bob，Alice要发送一个信息给Bob，而这回，这个信息，是一个qubit，而Alice并不晓得qubit的状态，我们不能挑选用典范的bit去描写，由于qubit是持续的，并不是离散的，我们利用下面的线路：

不能不说，有点复杂，笔者也花了些时候去了解。

初始，我们有 $|\psi_0\rangle=|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ，所以我们有： $|\psi_0\rangle|\beta_{00}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha|0\rangle(|00\rangle+|11\rangle)+\beta|1\rangle(|00\rangle+|11\rangle)]$

经过CNOT门，我们有 $|\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha|0\rangle(|00\rangle+|11\rangle)+\beta|1\rangle(|10\rangle+|01\rangle)]$

回首一下，前面的Hadamard门：

$H\equiv\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1\\ \end{bmatrix}$

我们经过运算后，获得：

重写整合下：

所以说，我们可以获得以上四个情况（对应四个项），按照前两个qubit，可以得出第三个qubit的状态，假如是 $|00\rangle$ ，则输出的是本来的qubit的状态，无需修改，否则，假如是 $|01\rangle$ ，需要感化一个X，假如是 $|10\rangle$ ，则是Z，假如是 $|11\rangle$ ，则是两个门都感化一下，最初批改后城市输出要传输的qubit的状态。

可是，有两点要诠释说明下，第一点，在相对论中，物资的传输是超不外光速的，也就暗示能量和信息多传递没法跨越光速，可是这里却跨越了？实在并没有，由于Alice必须经过传统的信道讲前两位的状态发送进来，究竟上，前面会讲到，只要量子信道的情况下，传递不了任何信息。第二点，这个是算缔造了一个量子状态的副本吗？实在并没有，由于之前的初始的qubit消失了，所以和不成复制定理不冲突。

20 个评论

游客 2022-3-27 19:42

总感觉cnot讲不可逆的那边说的好乱，就是这个“我们量子的异或门，是不可逆的（不要和后面的可逆弄混）！这里的不可逆指：经典计算机中，我们或许可以通过输出的结果，推算输入的结果，而在异或门中，这是不可能的。但是，酉矩阵量子逻辑门却都是可逆的，因为酉矩阵的逆也是酉矩阵，因此，我们可以通过逻辑门实现回去的转换。”

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游客 2022-3-27 19:42

请问怎么用量子线路计算模4加运算呢

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游客 2022-3-27 19:41

输入输出用向量，就是qubit的概率幅

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游客 2022-3-27 19:40

我能问一下如何用矩阵表示z门的输入输出呢？
小白求问大佬

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游客 2022-3-27 19:39

哦原来是线代我去复习吧先概览你的文章先因为缺太多知识了也不知道先补哪个

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游客 2022-3-27 19:38

向量的模，长度

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文章点评

2022-03-27 18:08

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